さて今日から二次方程式に入ります。
公務員試験の数的推理であれば難易度はそこまで高くありません。
ただ、数学と絡んで出されると難易度が一気に上がります。
今回は最初でそれを言っちゃうんですね・・・
やる気が・・・
こらこら。
これだけで気分を上げ下げしちゃうと勿体無いよ！
分かりやすく解説するので、やってみましょう！
数的推理の二次方程式とは
連続する３つの自然数の最も小さい数と最も大きい数の積が、真ん中の数の１０倍より９５多い時、この真ん中の数を求めよ。
１ １６
２ １８
３ １９
４ ２０
５ ２３
これは割と基本的な二次方程式の問題です。
数的推理の二次方程式といえばこれ！という形になります。
まずポイントを挙げると、「真ん中を文字にする」です。
真ん中を文字にする
真ん中を文字にするのか。
そもそもどうやって文字を活用するのかがわからないな〜。
まずは連続する数字を考えてみましょう。
例えば、「１・２・３」も連続していますし、
「１０・１１・１２」「２３・２４・２５」なども
連続する３つの数字になりますね。
それを文字でどう表すかを考えてみましょう。
とりあえず「X」を使ってみようかな。
「１・２・３」の２を「X」としてみると、
真ん中の「２」から見れば左の「１」は「１小さい」
真ん中の「２」から見れば右の「３」は「１大きい」
お！？そうなると、真ん中の「X」を基準にして考えたら・・・
「Xー１・X・X＋１」で表すことができる！
でも先生！
最初を「X」にして、その次は「X＋１」「X＋２」にした方が、
考えやすいと思うんですが、どうなんですか〜？
確かに最初を「X」にした方が考えやすいですね。
ただ、この辺は実際に計算をしてみるとわかります。
一旦式まで作ってみましょうか。
連続する３つの数字を「Xー１」「X」「X＋１」としましたね。
ここからは、問題文が言っているとおりに式を作っていきます。
難しそうに感じるかもしれませんが、やってみましょう。
まずは「最も小さい数と最も大きい数の積」と書いてありますね。
最も小さい数は「Xー１」、最も大きい数は「X＋１」、積は「掛け算」の意味ですね。
それを書いてみると、
（Xー１）×（X＋１）となりますね。
そして「真ん中の数の１０倍より９５大きい」と書いてあります。
真ん中は「X」なので、それを１０倍して、９５を足します。
それを書いてみると、
X×１０＋９５となりますね。
これが、問題文には書いていませんが、「同じになりますよ」ということを問題では言っています。
「最も小さい数と最も大きい数」が「真ん中の数の１０倍より９５多い」
「最も小さい数と最も大きい数」＝「真ん中の数の１０倍より９５多い」
これで式が作れると思います！
わかりました！
そうなると式はこの形ですね！
（Xー１）×（X＋１）＝X×１０＋９５
これを計算していくのね！
X２ー１＝１０X＋９５
２乗や３乗の数字がある計算では、「＝０」の形にして、
最後に因数分解をするのよね！
X２ー１０Xー９６＝０
レンは因数分解できるよね？
できるに決まってるじゃん！
X２ー１０Xー９６＝０
この場合、足し算して「ー１０」、掛け算して「ー９６」になる、
数字の組み合わせを見つけたら良いんだよ！
少し大変だったけど、「６」と「ー１６」の組み合わせなら、
足し算して「ー１０」、掛け算して「ー９６」になるね！
これを因数分解で書き直すと、
（X＋６）（Xー１６）＝０
X＝−６、１６です！
えっと、答えは１６が選択肢にあるから１６で良いのかな？
自然数、整数などの言葉を知っておく
2人とも素晴らしいです！
ただ、最後の答えを選ぶときに悩んだのは、
きっと言葉の意味を理解していなかったからだね。
「自然数」というのは、「正の整数」のことを意味していて、
「プラスの数」であり、「小数や分数は含まない」数になる。
そうなると、マイナスはダメだし、小数や分数もダメ。
もし、「整数」ってだけ指定されていたら、マイナスも含まれますが、
小数や分数は入りません。
今回の選択肢に「−６」もあった場合、引っかかる人もいるので、
しっかり覚えておきましょう。
真ん中にすることで計算が楽になる
さて、答えは出ましたのでこれでOKなんですが、
先ほどあった真ん中ではなく最初をXにした時の話をしましょう。
３つの連続する自然数を、「X・X＋１・X＋2」にしてみます。
問題文に書いてある通りに式を作ることは少し省いて、式を書いてみます。そうすると、
X×（X＋２）＝（X＋１）×１０＋９５ となります。解いていきますね。
X２＋２X＝１０X＋１０＋９５
X２ー８Xー１０５＝０
（X＋７）（Xー１５）＝０
X＝−７、１５
Xは自然数なのでX＝１５になります。
今回はあまり変化は感じないかもしれませんが、「１０５」という数字になりましたね。
これがもし、連続する５つの数という問題であった場合、
真ん中：Xー２、Xー１、X、X＋1、X＋２
最初：X、X＋1、X＋2、X＋3、X＋4
このような形になります。
これらを２乗することを考えた場合、真ん中を基準にしておく方がかなり楽になります。
（X＋２）２を計算するのか、（X＋４）２を計算するのか、それよりも数字が大きくなればなるほど、計算した結果の数も大きくなります。
数字は小さい方がミスは少ないです。
最初から基準にした方が考えやすいではありますが、その後の計算まで考えるとやはり真ん中を基準にした方が良いです。
選択は任せますが、ミスが少なく暗算ができる方を選んで欲しいです。
数学が混ざって出題されたらどうするか
ここで、最初に話した数学が混ざって出題された場合を見てみましょう。
ある商品の単価は３２０円で、１日の売上個数は５００個である。単価の増加に比例して売上個数が減少し、単価３５０円とした時の売上個数は３５０個であった。売上高を最大にするには、単価を何円にすれば良いか。
１ ２００円
２ ２１０円
３ ２２０円
４ ２３０円
５ ２４０円
この問題は、実は数学の二次関数の知識を利用して解く問題です。
つまり、二次関数の知識がなければ難しくなります。
もちろん、それを活用しなくても解けはしますが、
手っ取り早いのは二次関数の知識になります。
今回は解説しませんが、
こういった問題に直面した際は、一旦離れることをお勧めします。
「捨てる」のはダメです。
公務員試験は選択肢が必ずあるので、何かしら抵抗をしてください。
ただやられるのはダメです。
一旦離れて、戻ってきて解いてみる。
ある程度これかもしれないという選択肢を選べると思いますので。
ちゃんと解けることが前提ではありますが、
数学が混ざっている場合は、応用中の応用になりますので、
一度離れてみることを提案します。
ということで本日の授業は以上です。
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