さて今日から不等式に入ります。
実は不等式はこれまで数的推理や数学が得意な子でも、
難しく感じる分野なんだよ。
これを先に言うと、また気分が下がってしまうかもしれないけど。
ただ、それ以上にこれさえ知ってしまえば簡単に解ける方法もあるから、
ぜひみんなにも頑張ってほしい。
周りの人は難しいと言うかもしれないけど、皆んなは簡単に解いてしまおう！
なんか今回はやる気が出てくるスタートですね！笑
俺もやる気出てきたぞ！笑
その調子で問題を見てみよう！
不等式を難しく感じてしまう要因
問題 東京特別区過去問
ある数のキャンディーを子供たちに配ろうとしたところ、それぞれの子供に２個ずつ配ると３３個残り、４個ずつ配ると１０個以上残り、６個ずつ配ると１０個以上足りなくなった。この時、子供の人数はどれか。
①７人
②８人
③９人
④１０人
⑤１１人
これは不等式の中でも王道の問題です。
不等式を難しく感じる要因は色々とあるんだけど、
一番は式をどう作って良いかわからないと言う声が多いです。
文字はいくつ必要なのか？
どれを基準にするのか？
そして式を作れない中でも多いのは、
符号の向きがわからないと言うものです。
これが要因となって、不等式を難しく感じる人が多いです。
問題を読んでも式が作れないし、符号の向きもわからない。
解説をする前に、一旦確認して欲しいことがあります。
符号の種類は大きく２種類に分かれる
不等式の符号
「〜以上、〜以下」と書いている場合：「≦、≧」の符号を使う。「＝」が入ります。そして、以上、以下の場合は、その数字も含まれます。
⇨５以上、１３以下：５、１３を含みます。
「〜より大きい、〜より小さい」と書いている場合：「＜、＞」の符号を使う。「＝」は入りません。そして、その数字は含まれません。
⇨５より大きい、１３より小さい：５、１３は含まない。
こちらが基本中の基本になります。
以前にも別の授業で話したかもしれませんが、
不等式では当然のように出てきますので、
しっかりと覚えておくようにしてください。
これはバッチリですよ！
次に進みましょう！！！
不等式の問題でほぼ出る基準の式
実際に式を作っていきましょう。
まず最初に知っていて欲しいのが、
不等式の問題文には必ずと言って良いほど、
基準になる式があります。
それは、「以上、以下、〜より大きい、〜より小さい」という言葉が、
出てこない内容が必ずと言って良いほど出てきます。
重要なので２回言いましたが、問題を見てみましょう。
問題 東京特別区過去問
ある数のキャンディーを子供たちに配ろうとしたところ、それぞれの子供に２個ずつ配ると３３個残り、４個ずつ配ると１０個以上残り、６個ずつ配ると１０個以上足りなくなった。この時、子供の人数はどれか。
①７人
②８人
③９人
④１０人
⑤１１人
問題文を色で分けているのですが、中でも黄色の部分に注目してください。
この部分だけ「以上、以下」といった言葉が使われていませんよね？
これが基準となる部分であり、基準となる式が作れる文章になります。
子供の数を「X人」にして式を作ってみましょう。
先生。
基準になる部分はわかったんですけど、
式を作るのも出来そうで進まないです。
２個ずつ配ると３３個残るって話を、
Xも使ってどうやって式にしたら良いですか？
いきなり文字を使った式が作れない時は、
数字で考えてみると良いですよ！
例えば、「１０人」いるとしましょう。
「１０人に２個ずつ配ったら、３３個残った。キャンディーは全部でいくつですか？」
こう聞かれた場合、
「１０✖️２＋３３」という考え方をしませんかね。
１０人に２個ずつ配るから掛け算をすると２０個配ることになる。
それでも３３個残っているということは、配る２０個に残っている３３個を足す。
さっきの式はそういう意味だね。
全部で５３個になるね。
じゃあ１２人だったらどう考えるかな？
１２人に２個ずつ配るのは掛け算。
それでも３３個残るから、３３個を足す。
ということは・・・
「１２✖️２＋３３」
全部で５７個。
そうです！
これをX人だとどうなるかを考えます。
文字になると難しくなるのは、違うことをしよううとするからです。
文字になっても同じことをします。
注目するのは式の形です。
１０人、１２人といった数字が見えている時は同じ形の式になったのに、
文字になった瞬間から違う式になんてなりません。
比べてみましょう。
数字でも文字でも同じ形の式を考える
１０人に２個ずつ配ると３３個残る
「１０✖️２＋３３」
１２人に２個ずつ配ると３３個残る
「１２✖️２＋３３」
X人に２個ずつ配ると３３個残る
「X✖️２＋３３」
こうなるわけですね。文字になったからと違うことをしようとしない。
さっきまで見えていた数字が文字に変わっただけ。
式の形は変わらない。これを頭に入れておきましょう！
板書をまとめますね。
子供の数：X人
キャンディーの数：X✖️２＋３３
２X＋３３個
ここまで大丈夫ですか？
よく分かりました！
文字になってもやることは同じですね！
いよいよ符号が出てきそうですね・・・
不等式を作るポイントはどちらが大きい(多い)かを知る
基準になる式は大丈夫どうなので、
いよいよ不等式を作っていきます。
最初に注目するのは、どちらが多いかです。
どちらが多いか？
そんなのすぐ出来そうですよ先生！！！
では・・・
４個ずつ配ると１０個以上残りと書いていますが、今いるX人の子供に４個ずつ配るとなると、全部で何個配りますか？
そんなの簡単だよ！
もし１０人に４個配るなら、
「１０✖️４」って掛け算する。
だから、X人の時も同じ掛け算をするから、
「X✖️４」で４X個を配るんだ！
さっきの話が応用出来ていますね！
では、今持っているキャンディー「２X＋３３個」と、
４個ずつ配る「４X個」では、どちらが多いでしょうか。
なんだそれ〜！！
そんなのわかんないじゃん！！笑
いや、わかるんじゃない？
４個ずつ皆んなに配ったのに、まだ１０個以上残っているって書いてある。
これって、今持っているキャンディーが多かったから、配った後にもまだ残ったんじゃない？
確かに！残っているって部分に注目するんだな！
2人とも素晴らしいです！
その通りですね！
これさえ分かれば式が作れるようになっています！
どちらが大きいか分かれば、符号を「左が大きい式」にする
不等式を解く最大の鍵は、
どちらが大きいかを判断できるかどうか。
そして、それが分かれば式はこれを使います。
大きい方ー小さい方＞⬜︎
(大きい方ー小さい方≧⬜︎)
ポイントは符号の向きが常に「左が大きい」になっている点です。
先ほども伝えたように、
不等式を解く際に引っかかるのはここ！
符号の向きをどうすれば良いのか・・・。
その疑問は、これに従えば必ず「左が大きい」になるので、
ここで悩むことはありません。
また、右側の⬜︎にはその時の数字が入るので、
その辺は解説しながら確認しましょう。
では解説していきます。
まずは振り返ります。
子供：X人
キャンディー：２X＋３３個
４個ずつ配る：４X個（１０個以上残る→この１０が右の⬜︎に入ります）
今持っているキャンディーが大きいので、
(２X＋３３)ー４X≧１０ では、解いていきましょう！
２X＋３３ー４X≧１０
−２X≧ー２３
X≦11.5 （Xにマイナスが付いていたので、符号の向きは逆になります）
これを使って、６個ずつの部分も解けますか？
出来そうだぞ！
６個ずつ配ると足りなくなったか・・・。
まず６個ずつをX人に配るには、６X個必要。
今持っているキャンディーは２X＋３３個。
配りたいけど足りなくなるってことは・・・
６X個の方が大きい！！！！
すごい！！
私もそうなった！
これで式を作れるよね。
子供：X人
キャンディー：２X＋３３個
６個ずつ配る：６X個（１０個以上足りない→１０が右側の⬜︎に入る）
大きいのは６X、右側は１０、符号は左が大きいから、
６Xー(２X＋３３)≧１０
６Xー２Xー３３≧１０
４X≧４３
X≧10.75
これで良いですか？
答えを探す作業で不正解にならないように気を付ける
2人とも良いですね！
最後に正解を出すまでは気を抜かないようにね。
今一度出てきたものを考えてみよう。
X≦11.5・・・①
X≧10.75・・・②
ここから答えまで辿り着く方法は、符号の向きを合わせることです。
②の符号を逆にしてみましょう。
注意すべきは、符号の向きだけでなく、全部反対にします。
10.75≦X
こうすることで、①と同じ向きになるとこのように並べられます。
10.75≦X≦11.5
これでOKです！
ここで大切なのは、何の答えを聞かれていたか確認することです。
聞かれているのは子供の人数。
人数を表すときは通常「整数」にならなければいけません。
そのため、10.75≦X≦11.5の範囲で整数になる部分を探すと、「１１」しかありません。
よって、子供の人数は１１人の⑤が正解です。
まとめ
少し大変かもしれませんが、
しっかりと抑えることで解くことができます。
詳しく解説をしてきましたが、ポイントはこちらです。
まとめ
・基準となる式が作れる
・どちらが大きいかを調べる
・大きさが分かれば式は「大きい方ー小さい方」、符号の向きは左が大きい
・答えを選ぶ際は符号の向きを合わせる
以上です。
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