今日で2回目の「割合・百分率」の授業です。
例題をいくつかやりましたが、
やはり多くの問題に触れなければ力は付きません。
さっそく問題を見てみましょう。
表でまとめる解き方
問題
ある学校の昨年の生徒数は850人であった。今年は、男子生徒数が9％減少し、女子生徒数が8％増加して全体として生徒数が4％増加したという。今年の女子生徒数は何人か。
これは警察官の過去問になります。
さあ、やってみよう！
先生！先生！先生！先生〜〜〜！
いきなりレベルが上がりました！泣
ですね！
基礎の部分は変わりません。
①％を小数にする
②「1」を基準に「増」なら足す、「減」なら引く
③②で出た数字を「元の数」に掛ける
でもこの問題では「元の数」になる部分が無いので、
文字を使っていくよ。
そして、「割合」の問題では情報をまとめるために、
表を使うことが多いんだ。
ちょっと書いてみるね！
| 昨年 | 今年 | |
| 男子 | ||
| 女子 | ||
| 合計 | 850人 |
この表で分かるのは「昨年の合計」だけ。
あとは9％減少とか、8％増加とかを書きたいけど・・・。
そこで文字を使うんですか？
例えば男子の場合。
昨年から9％減少したのが今年の人数。
基礎を思い出すと、
①9％→0.09
②「1」を基準にして、「減」だから引く
1-0.09=0.91
③「元の数」は昨年の男子だけど人数が分からないから「X」にする。
0.91×X=0.91X
こんな感じで表を埋めていくよ。
なるほど。
女子は違う文字が良さそうだから「Y」にして、
①8％→0.08
②「1」を基準にして、「増」だから足す
1+0.08=1.08
③「元の数」のYに掛け算する
1.08×Y=1.08Y
表が埋まってきました！
| 昨年 | 今年 | |
| 男子 | X 人 | 0.91X 人 |
| 女子 | Y 人 | 1.08Y 人 |
| 合計 | 850 人 |
計算は楽な方を選択する
今年の合計は4％増えたのと、「元の数」も分かっているから書けるぞ！
①4％→0.04
②「1」を基準に「増」だから足す
1+0.04=1.04
③「元の数」は850だから掛け算して・・・
850×1.04=884
って計算めちゃくちゃ大変です！！！！
| 昨年 | 今年 | |
| 男子 | X 人 | 0.91X 人 |
| 女子 | Y 人 | 1.08Y 人 |
| 合計 | 850 人 | 884人 |
確かに計算は大変だね。
こういう時は楽な方を選ぶと良いよ！
「楽な方＝早い方」という意味だね。
計算が得意だとあまり感じないと思うけど、
850×1.04の計算は割と大変。
だから、あえてここでは「1」の基準を使わない計算をしてみよう。
4％だけを出す計算だとこうなる。
850×0.04=34
これを850に足すと、884になる。
ちなみに、小数の掛け算がある場合は、
一旦小数点を無視して最後に処理するのがオススメです。
850×0.04→850×4
850×1.04→850×104
こう見比べると、上はもしかしたら暗算できる人がいるかもしれないね！
さて、表を使うメリットはここからです。
表が完成すると式が作れます。表を縦に見てみましょう。
縦に見ると・・・
昨年は男子がX人、女子がY人で合計850人・・・！足し算だ！
X+Y=850
ということは、今年の式は
0.91X+1.08Y=884
良いですね！
では、こうやって同じXとYが入っている式が二つあったら、
何をするのが良いと思いますか？
連立方程式！
X+Y=850・・・・・・①
0.91X+1.08Y=884・・②
まずは小数を消したいから②×100
X+Y=850・・・・・・①
91X+108Y=88400・・②
「X」を消すために①×91
91X+91Y=77350・・・①
91X+108Y=88400・・・②
②-①をすると「X」が消える
17Y=11050
Y=650
①に代入して、X=200
問題が聞いているのは今年の女子の人数。
文字で表すと今年の女子は「1.08Y」
Y=650だから代入する
1.08×650=702 答えは702人！
やっぱり大変だーーーー！！！笑
計算を楽にするために「増減分」を考えてみる
計算大変ですよね。
実はこの分野をやる時にほとんどの人がぶつかるのは、
数字が大きくなって計算が大変になること。
先生のオススメは、
「増減分」で式を作ることと、小数のままで計算すること。
この方法を遠回りだと考える人もいるけど、
計算が苦手な人にはミスが減るので勧めています。
では表の項目を追加しているので見てみましょう。
見てどういうことか分かるかな？
| 昨年 | 増減分 | 今年 | |
| 男子 | X 人 | −0.09X 人 | 0.91X 人 |
| 女子 | Y 人 | +0.08Y 人 | 1.08Y 人 |
| 合計 | 850 人 | +34 人 | 884人 |
男子は「0.91X人減った」
女子は「0.08Y人増えた」
合計は「34人増えた」
そのままの意味ですけど・・・。
そのままの意味でOK！
これでさっきと同じように縦に見ると式が作れる。
符号はそのまま使うことだけ守ってください。
-0.91X+0.08Y=34
さっきまでの式と並べてみるとこんな感じ。
X+Y=850・・・・・・①
0.91X+1.08Y=884・・・②
-0.09X+0.08Y=34・・・③
さて、この3つから2つを選んで連立方程式を作るなら、
どれとどれを選びますか？
そりゃあ①と③だよ！
X+Y=850・・・・・・①
-0.09X+0.08Y=34・・・③
これを小数のまま計算するんですか？
俺はそっちの方がやりづらく感じるけど。
それに関してはやりやすい方が良いよ！
人それぞれに違うからね！
③の式を×100をして小数を消しても良いし、
さっきの①と②の連立方程式で問題ないならそれでOK！
色んな解き方を知った上で、自分のやりやすいものを選ぶ！
それが一番早かったりするからさ。それは自分で決めてね！
せっかく作ったので解説するね！
X+Y=850・・・・・・①
-0.09X+0.08Y=34・・・③
「X」を消すために①×0.09すると
0.09X+0.09Y=76.5・・・①
-0.09X+0.08Y=34・・・③
①+③をすると
0.17Y=110.5
Y=650
最初の①に代入して、X=200
ちょっと小数点が邪魔だけど、
数字が小さい方が計算ミスは少ないからね！
さっきも言ったように、好きな方を選んでね！
3つ目の式がある方が良いな〜。
その後の計算は練習しながら決めていこう！
私も3つ目賛成！
だって大変だもん！
先生がやっていた計算も、
「X」を消すよりは、「Y」を消すために、
×0.08した方が変な小数でなくて良いよ！（内緒）
それじゃあまとめようか。
割合の問題では「表」を使ってまとめるのがオススメ。
表が完成したら縦に見て式を作り連立方程式で解く。
計算が大きくなりがちだから3つ目の式で簡単にする方法もある。
こんな感じかな！
次回は似たような問題を表で解いてみよう！
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